Excel para a análise estatística dos dados Este é um Web site do companheiro do Web site das estatísticas do negócio Estados Unidos Site para os visitantes do mundo de fala hispana, este site está disponível em espanhol em: Site Espejo para a América Latina Site dos E. E.U. U. Excel é o pacote estatístico amplamente utilizado, que serve como uma ferramenta para compreender conceitos estatísticos e computação para verificar seu cálculo trabalhado manualmente na resolução de seus problemas de lição de casa. O site fornece uma introdução para compreender os conceitos básicos e trabalhar com o Excel. Refazer os exemplos numéricos ilustrados neste site ajudará a melhorar sua familiaridade e, como resultado, aumentar a eficácia e eficiência de seu processo em estatísticas. Para pesquisar o site. Tente E dit F ind na página Ctrl f. Digite uma palavra ou frase na caixa de diálogo, p. Quot variancequot ou quot meanquot Se o primeiro aparecimento da palavra-frase não for o que você está procurando, tente F ind. Introdução Este site fornece experiência ilustrativa no uso do Excel para resumo de dados, apresentação e para outras análises estatísticas básicas. Acredito que o uso popular do Excel está nas áreas em que o Excel realmente pode se destacar. Isso inclui a organização de dados, ou seja, gerenciamento de dados básicos, tabulação e gráficos. Para a análise estatística real sobre deve aprender usando os pacotes profissionais comerciais estatísticas, como SAS e SPSS. O Microsoft Excel 2000 (versão 9) fornece um conjunto de ferramentas de análise de dados chamado Analysis ToolPak que você pode usar para salvar etapas quando você desenvolve análises estatísticas complexas. Você fornece os dados e parâmetros para cada análise a ferramenta usa as funções de macro estatísticas apropriadas e exibe os resultados em uma tabela de saída. Algumas ferramentas geram gráficos além de tabelas de saída. Se o comando Análise de dados for selecionável no menu Ferramentas, o Analysis ToolPak será instalado no sistema. No entanto, se o comando Análise de dados não estiver no menu Ferramentas, você precisará instalar o Analysis ToolPak fazendo o seguinte: Etapa 1: No menu Ferramentas, clique em Suplementos. Se o Analysis ToolPak não estiver listado na caixa de diálogo Add-Ins, clique em Procurar e localize a unidade, o nome da pasta e o nome do arquivo para o Analysis ToolPak Add-in Analys32.xll normalmente localizado na pasta Program FilesMicrosoft OfficeOfficeLibraryAnalysis. Depois de encontrar o arquivo, selecione-o e clique em OK. Etapa 2: Se você não encontrar o arquivo Analys32.xll, então você deve instalá-lo. Insira o disco 1 do Microsoft Office 2000 na unidade de CD-ROM. Selecione Executar no menu Iniciar do Windows. Procure e selecione a unidade para o seu CD. Selecione Setup. exe, clique em Abrir e clique em OK. Clique no botão Adicionar ou remover funcionalidades. Clique no próximo para o Microsoft Excel para Windows. Clique no próximo para Add-ins. Clique na seta para baixo junto ao Analysis ToolPak. Selecione Executar a partir do meu computador. Selecione o botão Atualizar agora. O Excel agora atualizará seu sistema para incluir o Analysis ToolPak. Inicie o Excel. No menu Ferramentas, clique em Suplementos. - e selecione a caixa de seleção Analysis ToolPak. Etapa 3: O Analysis ToolPak Add-In agora está instalado e Análise de Dados. Agora será selecionável no menu Tools. Microsoft Excel é um pacote de planilha poderoso disponível para Microsoft Windows eo Apple Macintosh. O software de planilha é usado para armazenar informações em colunas e linhas que podem então ser organizadas e / ou processadas. As planilhas são projetadas para funcionar bem com números, mas geralmente incluem texto. Excel organiza seu trabalho em pastas de trabalho cada pasta de trabalho pode conter várias planilhas planilhas são usadas para lista e analisar dados. O Excel está disponível em todos os PCs de acesso público (isto é, aqueles, por exemplo, na Biblioteca e PC Labs). Ele pode ser aberto selecionando Iniciar - Programas - Microsoft Excel ou clicando no Excel Short Cut que está no seu desktop, ou em qualquer PC, ou na barra de ferramentas do Office. Abrir um Documento: Clique em Arquivo-Abrir (CtrlO) para abrir uma pasta de trabalho existente. Altere a área ou unidade do diretório para procurar arquivos em outros locais. Para criar uma nova pasta de trabalho, clique em Arquivo Novo Documento em branco. Salvando e fechando um documento: Para salvar o documento com seu nome de arquivo atual, local e formato de arquivo, clique em Arquivo - Salvar. Se você estiver salvando pela primeira vez, clique em Salvar arquivo, escolha um nome para o documento e clique em OK. Também use File-Save se você quiser salvar em uma filenamelocation diferente. Quando você terminar de trabalhar em um documento, você deve fechá-lo. Vá para o menu Arquivo e clique em Fechar. Se tiver feito alterações desde que o arquivo foi salvo pela última vez, será perguntado se deseja salvá-las. A tela Excel Workbooks e planilhas: Quando você inicia o Excel, uma planilha em branco é exibida, que consiste em uma grade múltipla de células com linhas numeradas na página e colunas com o título alfabético em toda a página. Cada c�lula � referenciada pelas suas coordenadas (por exemplo, A3 � utilizado para referir a c�lula na coluna A e linha 3 B10: B20 � utilizado para referir o intervalo de c�lulas na coluna B e linhas 10 a 20). Seu trabalho é armazenado em um arquivo do Excel chamado de pasta de trabalho. Cada pasta de trabalho pode conter várias planilhas e / ou gráficos - a planilha atual é chamada de planilha ativa. Para exibir uma planilha diferente em uma pasta de trabalho, clique na guia Folha apropriada. Você pode acessar e executar comandos diretamente do menu principal ou você pode apontar para um dos botões da barra de ferramentas (a caixa de exibição que aparece abaixo do botão, quando você coloca o cursor sobre ele, indica a ação do nome do botão) e clique uma vez. Movendo-se ao redor da planilha: É importante ser capaz de mover-se ao redor da planilha efetivamente porque você só pode inserir ou alterar dados na posição do cursor. Você pode mover o cursor usando as teclas de seta ou movendo o mouse para a célula desejada e clicando em. Uma vez selecionada a célula torna-se a célula ativa e é identificada por uma borda grossa apenas uma célula pode estar ativa por vez. Para mover de uma planilha para outra, clique nos separadores de folha. (Se a pasta de trabalho contiver muitas folhas, clique com o botão direito do mouse nos botões de rolagem da aba e, em seguida, clique na folha desejada.) O nome da folha ativa é mostrado em negrito. Movendo entre as células: Aqui estão os atalhos de teclado para mover a célula ativa: Home - move para a primeira coluna da linha atual CtrlHome - move para o canto superior esquerdo do documento End then Home - move para a última célula do documento To Mover entre células em uma planilha, clique em qualquer célula ou use as teclas de seta. Para ver uma área diferente da folha, use as barras de rolagem e clique nas setas ou na área acima embaixo da caixa de rolagem nas barras de rolagem verticais ou horizontais. Observe que o tamanho de uma caixa de rolagem indica a quantidade proporcional da área usada da folha que está visível na janela. A posição de uma caixa de deslocamento indica a localização relativa da área visível dentro da folha de cálculo. Inserindo dados Uma nova planilha é uma grade de linhas e colunas. As linhas são rotuladas com números e as colunas são rotuladas com letras. Cada interseção de uma linha e uma coluna é uma célula. Cada célula tem um endereço. Que é a letra da coluna e o número da linha. A seta na planilha à direita aponta para a célula A1, que está actualmente realçada. Indicando que é uma célula ativa. Uma célula deve estar ativa para inserir informações nele. Para destacar (selecionar) uma célula, clique nele. Para selecionar mais de uma célula: Clique em uma célula (por exemplo, A1) e, em seguida, segure a tecla Shift enquanto clica em outra (por exemplo, D4) para selecionar todas as células entre A1 e D4. Clique em uma célula (por exemplo, A1) e arraste o mouse pelo intervalo desejado, clicando noutra célula (por exemplo, D4) para selecionar todas as células entre e incluindo A1 e D4.Para selecionar várias células que não estão adjacentes, pressione o controle e clique em As células que você deseja selecionar. Clique em um número ou letra rotulando uma linha ou coluna para selecionar toda a linha ou coluna. Uma planilha pode ter até 256 colunas e 65.536 linhas, assim itll ser um tempo antes de você ficar sem espaço. Cada célula pode conter um rótulo. valor . Valor lógico. Ou fórmula. As etiquetas podem conter qualquer combinação de letras, números ou símbolos. Os valores são números. Somente valores (números) podem ser usados nos cálculos. Um valor também pode ser uma data ou um timeLogical valores são true ou false. Formulas automaticamente fazer cálculos sobre os valores em outras células especificadas e exibir o resultado na célula na qual a fórmula é inserida (por exemplo, você pode especificar que a célula D3 É para conter a soma dos números em B3 e C3 o número exibido em D3 será então uma função dos números inseridos em B3 e C3). Para inserir informações em uma célula, selecione a célula e comece a digitar. Observe que, à medida que você digita informações na célula, as informações inseridas também são exibidas na barra de fórmulas. Você também pode inserir informações na barra de fórmulas e as informações aparecerão na célula selecionada. Quando terminar de digitar o rótulo ou valor: Pressione Enter para mover para a próxima célula abaixo (neste caso, A2) Pressione Tab para mover para a próxima célula à direita (neste caso, B1) Clique em qualquer célula para selecionar Introduzir etiquetas A menos que as informações introduzidas sejam formatadas como um valor ou uma fórmula, o Excel irá interpretá-lo como um rótulo e predefinido para alinhar o texto no lado esquerdo da célula. Se você estiver criando uma planilha longa e você estará repetindo as mesmas informações de rótulo em várias células diferentes, você pode usar a função AutoCompletar. Esta função analisará outras entradas na mesma coluna e tentará corresponder a uma entrada anterior com a entrada atual. Por exemplo, se você já tiver digitado Wesleyan em outra célula e digitar W em uma nova célula, o Excel entrará automaticamente Wesleyan. Se você pretende digitar Wesleyan na célula, sua tarefa é feita, e você pode passar para a próxima célula. Se pretender escrever algo mais, por ex. Williams, para a célula, basta continuar digitando para inserir o termo. Para ativar a função AutoCompletar, clique em Ferramentas na barra de menus, selecione Opções, selecione Editar e clique para colocar uma marca na caixa ao lado de Ativar preenchimento automático para valores de célula. Outra maneira de inserir rapidamente rótulos repetidos é usar o recurso Lista de seleção. Clique com o botão direito do mouse em uma célula e selecione Selecionar da lista. Isso lhe dará um menu de todas as outras entradas nas células dessa coluna. Clique em um item no menu para inseri-lo na célula selecionada atualmente. Um valor é um número, data ou hora, mais alguns símbolos, se necessário, para definir ainda mais os números 91 tais como. - () 93. Considera-se que os números são positivos para introduzir um número negativo, utilize um sinal de menos - ou coloque o número entre parênteses (). As datas são armazenadas como MMDDYYYY, mas você não precisa inseri-lo precisamente nesse formato. Se você digitar jan 9 ou jan-9, Excel reconhecê-lo em 9 de janeiro do ano atual e armazená-lo como 192002. Insira o ano de quatro dígitos para um ano diferente do ano atual (por exemplo, 9 de janeiro de 1999). Para introduzir a data actual, prima o controlo e ao mesmo tempo. Times padrão para um relógio de 24 horas. Use a ou p para indicar am ou pm se você usar um relógio de 12 horas (por exemplo 8:30 p é interpretado como 8:30 PM). Para inserir a hora atual, pressione o controle e: (shift-ponto-e-vírgula) ao mesmo tempo. Uma entrada interpretada como um valor (número, data ou hora) é alinhada para o lado direito da célula, para reformatar um valor. Arredondamento de números que atendam aos critérios especificados: Para aplicar cores aos valores máximo e mínimo: Selecione uma célula na região e pressione CtrlShift (no Excel 2003, pressione este ou CtrlA) para selecionar a região atual. No menu Formatar, selecione Formatação condicional. Na condição 1, selecione Fórmula Is e digite MAX (F: F) F1. Clique em Formatar, selecione a guia Fonte, selecione uma cor e clique em OK. Na condição 2, selecione Fórmula Is e digite MIN (F: F) F1. Repita o passo 4, seleccione uma cor diferente do que seleccionou para Condição 1, e em seguida, clique em OK. Nota: Certifique-se de fazer a distinção entre referência absoluta e referência relativa ao digitar as fórmulas. Números arredondados que atendem aos critérios especificados Problema: Arredondando todos os números na coluna A para zero casas decimais, exceto aqueles que têm 5 na primeira casa decimal. Solução: Use as funções IF, MOD e ROUND na fórmula a seguir: IF (MOD (A2,1) 0,5, A2, ROUND (A2,0)) Para copiar e colar todas as células em uma folha Selecione as células na folha Pressionando CtrlA (no Excel 2003, selecione uma célula em uma área em branco antes de pressionar CtrlA ou de uma célula selecionada em um Current RegionList intervalo, pressione CtrlAA). OU Clique em Selecionar tudo na interseção superior esquerda de linhas e colunas. Pressione CtrlC. Pressione CtrlPage Down para selecionar outra planilha e, em seguida, selecione a célula A1. Pressione Enter. Para copiar a folha inteira Copiar a folha inteira significa copiar as células, os parâmetros de configuração da página e os nomes de intervalo definidos. Opção 1: Mova o ponteiro do mouse para uma guia de planilha. Pressione Ctrl e segure o mouse para arrastar a folha para um local diferente. Solte o botão do mouse ea tecla Ctrl. Opção 2: Clique com o botão direito do mouse na guia da folha apropriada. No menu de atalho, selecione Mover ou Copiar. A caixa de diálogo Mover ou Copiar permite copiar a folha para um local diferente na pasta de trabalho atual ou para uma pasta de trabalho diferente. Certifique-se de marcar a caixa de seleção Criar uma cópia. Opção 3: No menu Janela, selecione Organizar. Selecione Tile para colocar todas as pastas de trabalho abertas na janela. Use a Opção 1 (arrastando a folha enquanto pressiona Ctrl) para copiar ou mover uma folha. Ordenação por Colunas A configuração padrão para classificação em Ordem Ascendente ou Decrescente é por linha. Para classificar por colunas: No menu Dados, selecione Classificar e, em seguida, Opções. Selecione o botão de opção Classificar para a esquerda para a direita e clique em OK. Na opção Ordenar por na caixa de diálogo Classificar, selecione o número da linha pela qual as colunas serão classificadas e clique em OK. Estatísticas Descritivas O ToolPak de Análise de Dados possui uma ferramenta Descritiva de Estatísticas que fornece uma maneira fácil de calcular estatísticas de resumo de um conjunto de dados de amostra. As estatísticas de resumo incluem Média, Erro Padrão, Mediana, Modo, Desvio Padrão, Variância, Curtose, Inclinação, Faixa, Mínimo, Máximo, Soma e Contagem. Esta ferramenta elimina a necessidade de digitar funções indivividual para encontrar cada um desses resultados. Excel inclui barras de ferramentas elaboradas e personalizáveis, por exemplo, a barra de ferramentas padrão mostrada aqui: Alguns dos ícones são computação matemática útil: é o ícone Autosum, que insere a fórmula sum () para adicionar um intervalo de células. É o ícone FunctionWizard, que lhe dá acesso a todas as funções disponíveis. É o ícone GraphWizard, que dá acesso a todos os tipos de gráfico disponíveis, como mostrado nesta tela: Excel pode ser usado para gerar medidas de localização e variabilidade para uma variável. Suponha que desejamos encontrar estatísticas descritivas para uma amostra de dados: 2, 4, 6 e 8. Etapa 1. Selecione o menu suspenso Ferramentas, se você ver a análise de dados, clique nessa opção, caso contrário, clique em add-in . Opção para instalar a ferramenta de análise pak. Etapa 2. Clique na opção de análise de dados. Etapa 3. Selecione Estatísticas descritivas na lista Ferramentas de análise. Etapa 4. Quando a caixa de diálogo aparecer: Digite A1: A4 na caixa de intervalo de entrada, A1 é um valor na coluna A ea linha 1. Neste caso, este valor é 2. Usando a mesma técnica entrar outros VALUES até chegar ao último. Se um exemplo consiste em 20 números, você pode selecionar, por exemplo, A1, A2, A3, etc. como o intervalo de entrada. Etapa 5. Selecione um intervalo de saída. Neste caso B1. Clique em estatísticas de resumo para ver os resultados. Quando você clique OK. Você verá o resultado no intervalo selecionado. Como você verá, a média da amostra é 5, a mediana é 5, o desvio padrão é 2,581989, a variância da amostra é 6,6666667, o intervalo é 6 e assim por diante. Cada um desses fatores pode ser importante no cálculo de diferentes procedimentos estatísticos. Distribuição Normal Considere o problema de encontrar a probabilidade de obter menos de um certo valor sob qualquer distribuição de probabilidade normal. Como um exemplo ilustrativo, suponhamos que os escores SAT em todo o país são normalmente distribuídos com uma média e desvio padrão de 500 e 100, respectivamente. Responda às seguintes perguntas com base nas informações fornecidas: A: Qual é a probabilidade de uma pontuação de um aluno selecionada aleatoriamente ser menor que 600 pontos? B: Qual é a probabilidade de uma pontuação de um aluno selecionada aleatoriamente ultrapassar 600 pontos C: Qual é a probabilidade Que uma pontuação de alunos selecionados aleatoriamente será entre 400 e 600 Dica: Usando o Excel você pode encontrar a probabilidade de obter um valor aproximadamente menor ou igual a um determinado valor. Em um problema, quando a média eo desvio padrão da população são dadas, você tem que usar o senso comum para encontrar diferentes probabilidades com base na pergunta, pois você sabe que a área sob uma curva normal é 1. Na folha de trabalho, selecione a Onde deseja que a resposta apareça. Suponha que você escolheu a célula número um, A1. Nos menus, selecione quotinsert pull-downquot. Etapas 2-3 Nos menus, selecione inserir e, em seguida, clique na opção Função. Etapa 4. Depois de clicar na opção Função, a caixa de diálogo Função de Pasta aparece de Categoria de Função. Escolha Estatística e NORMDIST a partir da caixa Nome da Função Clique em OK Etapa 5. Depois de clicar em OK, a caixa de distribuição NORMDIST aparece: i. Insira 600 em X (a caixa de valor) ii. Insira 500 na caixa Média iii. Insira 100 na caixa Desvio Padrão iv. Digite quottruequot na caixa cumulativa e clique em OK. Como você vê o valor 0.84134474 aparece em A1, indicando a probabilidade de que uma pontuação de alunos selecionados aleatoriamente é inferior a 600 pontos. Usando o senso comum, podemos responder parte quotbquot subtraindo 0.84134474 de 1. Assim, a parte quotbquot resposta é 1- 0.8413474 ou 0.158653. Esta é a probabilidade de que uma pontuação de alunos selecionados aleatoriamente seja maior que 600 pontos. Para responder parte quotcquot, use as mesmas técnicas para encontrar as probabilidades ou área no lado esquerdo dos valores 600 e 400. Uma vez que estas áreas ou probabilidades sobrepõem uns aos outros para responder a pergunta que você deve subtrair a menor probabilidade de maior probabilidade. A resposta é igual a 0,84134474 - 0,15865526 ou seja, 0,68269. A captura de tela deve se parecer com a seguinte: Cálculo do valor de uma variável aleatória freqüentemente chamada de valor quotxquot Você pode usar NORMINV a partir da caixa de função para calcular um valor para a variável aleatória - se a probabilidade para o lado esquerdo dessa variável for dada. Na verdade, você deve usar esta função para calcular diferentes percentis. Neste problema, pode-se perguntar qual é a pontuação de um aluno cujo percentil é 90 Isto significa que aproximadamente 90 das pontuações dos alunos são inferiores a este número. Por outro lado, se tivéssemos que fazer este problema manualmente, teríamos de calcular o valor x usando a fórmula de distribuição normal x m zd. Agora vamos usar o Excel para calcular P90. Na função Colar, clique em diálogo estatístico e, em seguida, clique em NORMINV. A captura de tela seria semelhante à seguinte: Quando você vê NORMINV a caixa de diálogo aparece. Eu. Insira 0.90 para a probabilidade (isto significa que aproximadamente 90 dos alunos pontuação é menor do que o valor que estamos procurando) ii. Digite 500 para a média (esta é a média da distribuição normal no nosso caso) iii. Digite 100 para o desvio padrão (este é o desvio padrão da distribuição normal no nosso caso) No final desta tela você verá o resultado da fórmula que é de aproximadamente 628 pontos. Isso significa que o top 10 dos alunos obteve melhores resultados do que 628. Intervalo de confiança para a média Suponha que desejamos estimar um intervalo de confiança para a média de uma população. Dependendo do tamanho do seu tamanho de amostra você pode usar um dos seguintes casos: Grande Tamanho da Amostra (n é maior que, digamos 30): A fórmula geral para desenvolver um intervalo de confiança para uma população significa: Nesta fórmula é a média Da amostra Z é o coeficiente de intervalo, que pode ser encontrado a partir da tabela de distribuição normal (por exemplo, o coeficiente de intervalo para um nível de confiança de 95 é 1,96). S é o desvio padrão da amostra e n é o tamanho da amostra. Agora, gostaríamos de mostrar como o Excel é usado para desenvolver um certo intervalo de confiança de uma média populacional com base em uma amostra de informações. Como você vê, a fim de avaliar esta fórmula você precisa quotthe média do samplequot ea margem de erro Excel irá calcular automaticamente essas quantidades para você. As únicas coisas que você precisa fazer são: adicionar a margem de erro à média da amostra, encontrar o limite superior do intervalo e subtrair a margem de erro da média para o limite inferior do intervalo. Para demonstrar como o Excel encontra essas quantidades vamos usar o conjunto de dados, que contém a renda horária de 36 estudantes de trabalho-estudo aqui, na Universidade de Baltimore. Esses números aparecem nas células A1 a A36 em uma planilha do Excel. Após a entrada dos dados, seguimos o procedimento estatístico descritivo para calcular as quantidades desconhecidas. A única etapa adicional é clicar no intervalo de confiança na caixa de diálogo estatística descritiva e digitar o nível de confiança dado, neste caso 95. Aqui está, os procedimentos acima em passo a passo: Etapa 1. Digite os dados nas células A1 Para A36 (na planilha) Etapa 2. Nos menus selecione Ferramentas Etapa 3. Clique em Análise de Dados e, em seguida, escolha a opção Estatísticas Descritivas e clique em OK. Na caixa de diálogo de estatísticas descritivas, clique em Estatística de Resumo. Depois de ter feito isso, clique no nível de intervalo de confiança e digite 95 - ou em outros problemas qualquer intervalo de confiança que você deseja. Na caixa Output Range digite B1 ou o local que você deseja. Agora clique em OK. A captura de tela seria semelhante à seguinte: Como você vê, a planilha mostra que a média da amostra é 6.902777778 eo valor absoluto da margem de erro 0.231678109. Esta média é baseada nestas informações de exemplo. Um intervalo de confiança de 95 para o rendimento horário dos estudantes de trabalho-estudo da UB tem um limite superior de 6.902777778 0.231678109 e um limite inferior de 6.902777778 - 0.231678109. Por outro lado, podemos dizer que de todos os intervalos formados desta forma 95 contém a média da população. Ou, para fins práticos, podemos estar 95 confiantes de que a média da população está entre 6.902777778 - 0.231678109 e 6.902777778 0.231678109. Podemos estar pelo menos 95 confiantes de que intervalo 6.68 e 7.13 contém a renda média por hora de um estudante de trabalho-estudo. Tamanho da Amostra Smal (digamos menos de 30) Se a amostra n for menor que 30 ou devemos usar o pequeno procedimento de amostra para desenvolver um intervalo de confiança para a média de uma população. A fórmula geral para o desenvolvimento de intervalos de confiança para a média da população com base em pequena amostra é: Nesta fórmula é a média da amostra. É o coeficiente de intervalo que fornece uma área de na parte superior de uma distribuição t com n-1 graus de liberdade que pode ser encontrado a partir de uma tabela de distribuição t (por exemplo, o coeficiente de intervalo para um nível de confiança de 90 é 1.833 se a amostra for 10). S é o desvio padrão da amostra e n é o tamanho da amostra. Agora você gostaria de ver como o Excel é usado para desenvolver um certo intervalo de confiança de uma média populacional com base nessa pequena amostra de informações. Como você vê, para avaliar esta fórmula você precisa quotthe média do samplequot e da margem de erro do Excel irá calcular automaticamente estas quantidades da maneira que fez para grandes amostras. Novamente, as únicas coisas que você precisa fazer são: adicionar a margem de erro à média da amostra, encontrar o limite superior do intervalo e subtrair a margem de erro da média para encontrar o limite inferior do intervalo. Para demonstrar como o Excel encontra essas quantidades vamos usar o conjunto de dados, que contém as rendas horárias de 10 estudantes de trabalho-estudo aqui, na Universidade de Baltimore. Esses números aparecem nas células A1 a A10 em uma planilha do Excel. Depois de inserir os dados, seguimos o procedimento estatístico descritivo para calcular as quantidades desconhecidas (exatamente como encontramos as quantidades para a grande amostra). Aqui você está com os procedimentos no formulário passo a passo: Passo 1. Digite os dados nas células A1 a A10 na planilha Passo 2. Nos menus selecione Ferramentas Etapa 3. Clique em Análise de Dados e, em seguida, escolha a opção Estatística Descritiva. Clique em OK na caixa de diálogo de estatísticas descritivas, clique em Estatística de resumo, clique no nível de intervalo de confiança e digite 90 ou em outros problemas qualquer intervalo de confiança que você deseja. Na caixa Output Range, digite B1 ou qualquer local que você desejar. Agora clique em OK. A captura de tela será semelhante à seguinte: Agora, como o cálculo do intervalo de confiança para a grande amostra, calcular o intervalo de confiança da população com base nesta pequena amostra informações. O intervalo de confiança é: 6,8 0,414426102 ou 6,39 7,21. Podemos ser pelo menos 90 confidente que o intervalo 6.39 e 7.21 contém a verdadeira média da população. Teste de Hipótese Relativo à Média da População Mais uma vez, devemos distinguir dois casos em relação ao tamanho da Amostra Grande Tamanho da Amostra (por exemplo, mais de 30): Nesta seção você quer saber como o Excel pode ser usado para realizar um teste de hipótese sobre Uma média populacional. Usaremos os rendimentos horários de diferentes estudantes de trabalho-estudo do que aqueles introduzidos anteriormente na seção de intervalo de confiança. Os dados são introduzidos nas células A1 a A36. O objetivo é testar a seguinte hipótese Nula e Alternativa: A hipótese nula indica que o rendimento horário médio de um estudante de trabalho-estudo é igual a 7 por hora no entanto, a hipótese alternativa indica que a renda horária média não é igual a 7 por hora. Vou repetir as etapas tomadas na estatística descritiva e no final vai mostrar como encontrar o valor das estatísticas de teste neste caso, z, usando uma fórmula de célula. Etapa 1. Digite os dados nas células A1 a A36 (na planilha) Etapa 2. Nos menus selecione Ferramentas Etapa 3. Clique em Análise de Dados e, em seguida, escolha a opção Estatísticas Descritivas, clique em OK. Na caixa de diálogo de estatísticas descritivas, clique em Estatística de Resumo. Selecione a caixa Output Range (intervalo de saída), insira B1 ou o local desejado. Agora clique em OK. (Para calcular o valor da pesquisa de estatísticas de teste para a média da amostra, em seguida, o erro padrão. Em esta saída, esses valores estão nas células C3 e C4.) Etapa 4. Selecione a célula D1 e digite a fórmula de célula (C3-7 ) C4. A captura de tela deve se parecer com o seguinte: O valor na célula D1 é o valor das estatísticas de teste. Uma vez que este valor desce na faixa de aceitação de -1,96 a 1,96 (a partir da tabela de distribuição normal), não conseguimos rejeitar a hipótese nula. Tamanho pequeno da amostra (digamos, menos de 30): Usando as medidas tomadas no caso de grande tamanho da amostra, o Excel pode ser usado para conduzir uma hipótese para o caso de pequena amostra. Vamos usar a renda horária de 10 estudantes de trabalho-estudo em UB para conduzir a seguinte hipótese. A hipótese nula indica que a renda média horária de um estudante de trabalho-estudo é igual a 7 por hora. A hipótese alternativa indica que a renda média por hora não é igual a 7 por hora. Vou repetir as etapas tomadas em estatística descritiva e no final vai mostrar como encontrar o valor das estatísticas de teste neste caso quottquot usando uma fórmula de célula. Etapa 1. Insira os dados nas células A1 a A10 (na planilha) Etapa 2. Nos menus selecione Ferramentas Etapa 3. Clique em Análise de dados e, em seguida, escolha a opção Estatísticas descritivas. Clique em OK. Na caixa de diálogo de estatísticas descritivas, clique em Estatística de Resumo. Selecione as caixas Output Range, digite B1 ou qualquer local que você escolheu. Novamente, clique em OK. (Para calcular o valor da pesquisa de estatísticas de teste para a média da amostra, em seguida, o erro padrão, nesta saída esses valores estão nas células C3 e C4.) Etapa 4. Selecione a célula D1 e digite a fórmula de célula (C3-7) C4. A captura de tela seria semelhante à seguinte: Uma vez que o valor da estatística de teste t -0,66896 cai na faixa de aceitação -2,262 a 2,262 (de t tabela, onde 0,025 e os graus de liberdade é 9), não podemos rejeitar a hipótese nula. Diferença entre a Média de Duas Populações Nesta seção vamos mostrar como o Excel é usado para conduzir um teste de hipótese sobre a diferença entre dois meios de população assumindo que as populações têm variâncias iguais. Os dados neste caso são tomados de vários escritórios aqui na Universidade de Baltimore. Eu coletei os dados de renda por hora de 36 estudantes de estudo de trabalho selecionados aleatoriamente e 36 assistentes de estudante. A faixa de renda por hora para estudantes de trabalho-estudo foi de 6 a 8, enquanto o intervalo de renda por hora para estudantes assistentes foi 6-9. O objetivo principal neste teste de hipótese é ver se existe uma diferença significativa entre as médias das duas populações. A hipótese NULL ea ALTERNATIVA é que os meios são iguais e os meios não são iguais, respectivamente. Referindo-se à planilha, escolhi A1 e A2 como centros de rótulos. A renda horária dos alunos do estudo de trabalho para um tamanho de amostra 36 é mostrada nas células A2: A37. E a renda horária dos assistentes estudantis para um tamanho de amostra 36 é mostrada nas células B2: B37 Dados para Estudos de Trabalho Estudante: 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6,5, 6,5, 6,5, 6,5, 6,5, 6,5, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7,5, 7,5, 7,5, 7,5, 7,5, 7,5, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8. , 6, 6, 6, 6,5, 6,5, 6,5, 6,5, 6,5, 7, 7, 7, 7, 7,5, 7,5, 7,5, 7,5, 7,5, 7,5, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 8,5, 8,5, 8,5, 8,5, 8,5, 9, 9, 9, 9. Utilize o procedimento de Estatística Descritiva para calcular as variâncias das duas amostras. O procedimento Excel para testar a diferença entre os dois meios de população exigirá informações sobre as variâncias das duas populações. Como as variâncias das duas populações são desconhecidas, elas devem ser substituídas por variâncias da amostra. O descritivo para ambas as amostras mostra que a variância da primeira amostra é s 1 2 0,55546218. Enquanto a variância da segunda amostra s 2 2 0,969748. Para realizar a hipótese de teste desejada com o Excel, é possível executar as seguintes etapas: Etapa 1. Nos menus, selecione Ferramentas e, em seguida, clique na opção Análise de dados. Etapa 2. Quando a caixa de diálogo Análise de dados for exibida: Escolha z-Test: Dois exemplos para os meios e clique em OK Etapa 3. Quando a caixa de diálogo z-Test: Dois exemplos para meios for exibida: Insira A1: A36 na caixa de intervalo variável 1 Digite 0 na caixa Diferença da Média da Hipótese (se desejar testar uma diferença de média diferente de 0, digite esse valor) Digite 0 na caixa Diferença da Média da Hipótese (se desejar testar uma diferença de média diferente de 0, insira esse valor) A variância da primeira amostra na caixa Variação 1 Variável Digite a variância da segunda amostra na caixa Variância Variável 2 e selecione Rótulos Enter 0,05 ou, independentemente do nível de significância desejado, na caixa Alfa Selecione um intervalo de saída adequado para a Resultados, eu escolhi C19. Em seguida, clique em OK. O valor da estatística de teste z-1.9845824 aparece no nosso caso na célula D24. A regra de rejeição para este teste é z 1.96 da tabela de distribuição normal. Na saída do Excel estes valores para um teste de duas caudas são z 1.959961082. Como o valor da estatística de teste z-1.9845824 é menor que -1.959961082, rejeitamos a hipótese nula. We can also draw this conclusion by comparing the p-value for a two tail - test and the alpha value. Since p-value 0.047190813 is less than a0.05 we reject the null hypothesis. Overall we can say, based on the sample results, the two populations means are different. Small Samples: n 1 OR n 2 are less than 30 In this section we will show how Excel is used to conduct a hypothesis test about the difference between two population means. - Given that the populations have equal variances when two small independent samples are taken from both populations. Similar to the above case, the data in this case are taken from various offices here at the University of Baltimore. I collected hourly income data of 11 randomly selected work-study students and 11 randomly selected student assistants. The hourly income range for both groups was similar range, 6 - 8 and 6-9. The main objective in this hypothesis testing is similar too, to see whether there is a significant difference between the means of the two populations. The NULL and the ALTERNATIVE hypothesis are that the means are equal and they are not equal, respectively. Referring to the spreadsheet, we chose A1 and A2 as label centers. The work-study students hourly income for a sample size 11 are shown in cells A2:A12 . and the student assistants hourly income for a sample size 11 is shown in cells B2:B12 . Unlike previous case, you do not have to calculate the variances of the two samples, Excel will automatically calculate these quantities and use them in the calculation of the value of the test statistic. Similar to the previous case, but a bit different in step 2, to conduct the desired test hypothesis with Excel the following steps can be taken: Step 1. From the menus select Tools then click on the Data Analysis option. Step 2. When the Data Analysis dialog box appears: Choose t-Test: Two Sample Assuming Equal Variances then click OK Step 3 When the t-Test: Two Sample Assuming Equal Variances dialog box appears : Enter A1:A12 in the variable 1 range box (work-study student hourly income) Enter B1:B12 in the variable 2 range box (student assistant hourly income) Enter 0 in the Hypothesis Mean Difference box(if you desire to test a mean difference other than zero, enter that value) then select Labels Enter 0.05 or, whatever level of significance you desire, in the Alpha box Select a suitable Output Range for the results, I chose C1, then click OK. The value of the test statistic t-1.362229828 appears, in our case, in cell D10. The rejection rule for this test is t 2.086 from the t distribution table where the t value is based on a t distribution with n 1 - n 2 -2 degrees of freedom and where the area of the upper one tail is 0.025 ( that is equal to alpha2). In the Excel output the values for a two-tail test are t 2.085962478. Since the value of the test statistic t-1.362229828, is in an acceptance range of t 2.085962478, we fail to reject the null hypothesis. We can also draw this conclusion by comparing the p-value for a two-tail test and the alpha value. Since the p-value 0.188271278 is greater than a0.05 again . we fail to reject the null hypothesis. Overall we can say, based on sample results, the two populations means are equal. Enter data in an Excel work sheet starting with cell A2 and ending with cell C8. The following steps should be taken to find the proper output for interpretation. Step 1. From the menus select Tools and click on Data Analysis option. Step 2. When data analysis dialog appears, choose Anova single-factor option enter A2:C8 in the input range box. Select labels in first row. Step3. Select any cell as output(in here we selected A11). Clique em OK. The general form of Anova table looks like following: Source of Variation Suppose the test is done at level of significance a 0.05, we reject the null hypothesis. This means there is a significant difference between means of hourly incomes of student assistants in these departments. The Two-way ANOVA Without Replication In this section, the study involves six students who were offered different hourly wages in three different department services here at the University of Baltimore. The objective is to see whether the hourly incomes are the same. Therefore, we can consider the following: Treatment: Hourly payments in the three departments Blocks: Each student is a block since each student has worked in the three different departments The general form of Anova table would look like: Source of Variation Degrees of freedom To find the Excel output for the above data the following steps can be taken: Step 1. From the menus select Tools and click on Data Analysis option. Step2. When data analysis box appears: select Anova two-factor without replication then Enter A2: D8 in the input range. Select labels in first row. Step3. Select an output range (in here we selected A11) then OK. Source of Variation NOTE: FMSTMSE 0.9805560.497222 1.972067 F 3.33 from table (5 numerator DF and 10 denominator DF) Since 1.972067 Goodness-of-Fit Test for Discrete Random Variables The CHI-SQUARE distribution can be used in a hypothesis test involving a population variance. However, in this section we would like to test and see how close a sample results are to the expected results. Example: The Multinomial Random Variable In this example the objective is to see whether or not based on a randomly selected sample information the standards set for a population is met. There are so many practical examples that can be used in this situation. For example it is assumed the guidelines for hiring people with different ethnic background for the US government is set at 70(WHITE), 20(African American) and 10(others), respectively. A randomly selected sample of 1000 US employees shows the following results that is summarized in a table. EXPECTED NUMBER OF EMPLOYEES OBSERVED FROM SAMPLE As you see the observed sample numbers for groups two and three are lower than their expected values unlike group one which has a higher expected value. Is this a clear sign of discrimination with respect to ethnic background Well depends on how much lower the expected values are. The lower amount might not statistically be significant. To see whether these differences are significant we can use Excel and find the value of the CHI-SQUARE. If this value falls within the acceptance region we can assume that the guidelines are met otherwise they are not. Now lets enter these numbers into Excel spread - sheet. We used cells B7-B9 for the expected proportions, C7-C9 for the observed values and D7-D9 for the expected frequency. To calculate the expected frequency for a category, you can multiply the proportion of that category by the sample size (in here 1000). The formula for the first cell of the expected value column, D7 is 1000B7. To find other entries in the expected value column, use the copy and the paste menu as shown in the following picture. These are important values for the chi-square test. The observed range in this case is C7: C9 while the expected range is D7: D9. The null and the alternative hypothesis for this test are as follows: H A . The population proportions are not P W 0.70, P A 0.20 and P O 0.10 Now lets use Excel to calculate the p-value in a CHI-SQUARE test. Step 1. Select a cell in the work sheet, the location which you like the p value of the CHI-SQUARE to appear. We chose cell D12. Step 2. From the menus, select insert then click on the Function option, Paste Function dialog box appears. Step 3. Refer to function category box and choose statistical . from function name box select CHITEST and click on OK . Step 4. When the CHITEST dialog appears: Enter C7: C9 in the actual-range box then enter D7: D9 in the expected-range box, and finally click on OK . The p-value will appear in the selected cell, D12. As you see the p value is 0.002392 which is less than the value of the level of significance (in this case the level of significance, a 0.10). Hence the null hypothesis should be rejected. This means based on the sample information the guidelines are not met. Notice if you type CHITEST(C7:C9,D7:D9) in the formula bar the p-value will show up in the designated cell. NOTE: Excel can actually find the value of the CHI-SQUARE. To find this value first select an empty cell on the spread sheet then in the formula bar type CHIINV(D12,2). D12 designates the p-Value found previously and 2 is the degrees of freedom (number of rows minus one). The CHI-SQUARE value in this case is 12.07121. If we refer to the CHI-SQUARE table we will see that the cut off is 4.60517 since 12.071214.60517 we reject the null. The following screen shot shows you how to the CHI-SQUARE value. Test of Independence: Contingency Tables The CHI-SQUARE distribution is also used to test and see whether two variables are independent or not. For example based on sample data you might want to see whether smoking and gender are independent events for a certain population. The variables of interest in this case are smoking and the gender of an individual. Another example in this situation could involve the age range of an individual and his or her smoking habit. Similar to case one data may appear in a table but unlike the case one this table may contains several columns in addition to rows. The initial table contains the observed values. To find expected values for this table we set up another table similar to this one. To find the value of each cell in the new table we should multiply the sum of the cell column by the sum of the cell row and divide the results by the grand total. The grand total is the total number of observations in a study. Now based on the following table test whether or not the smoking habit and gender of the population that the following sample taken from are independent. On the other hand is that true that males in this population smoke more than females You could use formula bar to calculate the expected values for the expected range. For example to find the expected value for the cell C5 which is replaced in c11 you could click on the formula bar and enter C6D5D6 then enter in cell C11. Step 1. Observed Range b4:c5 Smoking and gender So the observed range is b4:c5 and the expected range is b10:c11. Step 3. Click on fx (paste function) Step 4. When Paste Function dialog box appears, click on Statistical in function category and CHITEST in the function name then click OK. When the CHITEST box appears, enter b4:c5 for the actual range, then b10:c11 for the expected range. Step 5. Click on OK (the p-value appears). 0.477395 Conclusion: Since p-value is greater than the level of significance (0.05), fails to reject the null. This means smoking and gender are independent events. Based on sample information one can not assure females smoke more than males or the other way around. Step 6. To find the chi-square value, use CHINV function, when Chinv box appears enter 0.477395 for probability part, then 1 for the degrees of freedom. Degrees of freedom(number of columns-1)X(number of rows-1) Test Hypothesis Concerning the Variance of Two Populations In this section we would like to examine whether or not the variances of two populations are equal. Whenever independent simple random samples of equal or different sizes such as n 1 and n 2 are taken from two normal distributions with equal variances, the sampling distribution of s 1 2 s 2 2 has F distribution with n 1 - 1 degrees of freedom for the numerator and n 2 - 1 degrees of freedom for the denominator. In the ratio s 1 2 s 2 2 the numerator s 1 2 and the denominator s 2 2 are variances of the first and the second sample, respectively. The following figure shows the graph of an F distribution with 10 degrees of freedom for both the numerator and the denominator. Unlike the normal distribution as you see the F distribution is not symmetric. The shape of an F distribution is positively skewed and depends on the degrees of freedom for the numerator and the denominator. The value of F is always positive. Now let see whether or not the variances of hourly income of student-assistant and work-study students based on samples taken from populations previously are equal. Assume that the hypothesis test in this case is conducted at a 0.10. The null and the alternative are: Rejection Rule: Reject the null hypothesis if Flt F 0.095 or Fgt F 0.05 where F, the value of the test statistic is equal to s 1 2 s 2 2. with 10 degrees of freedom for both the numerator and the denominator. We can find the value of F .05 from the F distribution table. If s 1 2 s 2 2. we do not need to know the value of F 0.095 otherwise, F 0.95 1 F 0.05 for equal sample sizes. A survey of eleven student-assistant and eleven work-study students shows the following descriptive statistics. Our objective is to find the value of s 1 2 s 2 2. where s 1 2 is the value of the variance of student assistant sample and s 2 2 is the value of the variance of the work study students sample. As you see these values are in cells F8 and D8 of the descriptive statistic output. To calculate the value of s 1 2 s 2 2. select a cell such as A16 and enter cell formula F8D8 and enter. This is the value of F in our problem. Since this value, F1.984615385, falls in acceptance area we fail to reject the null hypothesis. Hence, the sample results do support the conclusion that student assistants hourly income variance is equal to the work study students hourly income variance. The following screen shoot shows how to find the F value. We can follow the same format for one tail test(s). Linear Correlation and Regression Analysis In this section the objective is to see whether there is a correlation between two variables and to find a model that predicts one variable in terms of the other variable. There are so many examples that we could mention but we will mention the popular ones in the world of business. Usually independent variable is presented by the letter x and the dependent variable is presented by the letter y. A business man would like to see whether there is a relationship between the number of cases of sold and the temperature in a hot summer day based on information taken from the past. He also would like to estimate the number cases of soda which will be sold in a particular hot summer day in a ball game. He clearly recorded temperatures and number of cases of soda sold on those particular days. The following table shows the recorded data from June 1 through June 13. The weatherman predicts a 94F degree temperature for June 14. The businessman would like to meet all demands for the cases of sodas ordered by customers on June 14. Now lets use Excel to find the linear correlation coefficient and the regression line equation. The linear correlation coefficient is a quantity between -1 and 1. This quantity is denoted by R . The closer R to 1 the stronger positive (direct) correlation and similarly the closer R to -1 the stronger negative (inverse) correlation exists between the two variables. The general form of the regression line is y mx b. In this formula, m is the slope of the line and b is the y-intercept. You can find these quantities from the Excel output. In this situation the variable y (the dependent variable) is the number of cases of soda and the x (independent variable) is the temperature. To find the Excel output the following steps can be taken: Step 1. From the menus choose Tools and click on Data Analysis. Step 2. When Data Analysis dialog box appears, click on correlation. Step 3. When correlation dialog box appears, enter B1:C14 in the input range box. Click on Labels in first row and enter a16 in the output range box. Click on OK. As you see the correlation between the number of cases of soda demanded and the temperature is a very strong positive correlation. This means as the temperature increases the demand for cases of soda is also increasing. The linear correlation coefficient is 0.966598577 which is very close to 1. Now lets follow same steps but a bit different to find the regression equation. Step 1. From the menus choose Tools and click on Data Analysis Step 2 . When Data Analysis dialog box appears, click on regression . Step 3. When Regression dialog box appears, enter b1:b14 in the y-range box and c1:c14 in the x-range box. Click on labels . Step 4. Enter a19 in the output range box . Note: The regression equation in general should look like Ym X b. In this equation m is the slope of the regression line and b is its y-intercept. Adjusted R Square The relationship between the number of cans of soda and the temperature is: Y 0.879202711 X 9.17800767 The number of cans of soda 0.879202711(Temperature) 9.17800767. Referring to this expression we can approximately predict the number of cases of soda needed on June 14. The weather forecast for this is 94 degrees, hence the number of cans of soda needed is equal to The number of cases of soda0.879202711(94) 9.17800767 91.82 or about 92 cases. Moving Average and Exponential Smoothing Moving Average Models: Use the Add Trendline option to analyze a moving average forecasting model in Excel. You must first create a graph of the time series you want to analyze. Select the range that contains your data and make a scatter plot of the data. Once the chart is created, follow these steps: Click on the chart to select it, and click on any point on the line to select the data series. When you click on the chart to select it, a new option, Chart, s added to the menu bar. From the Chart menu, select Add Trendline. The following is the moving average of order 4 for weekly sales: Exponential Smoothing Models: The simplest way to analyze a timer series using an Exponential Smoothing model in Excel is to use the data analysis tool. This tool works almost exactly like the one for Moving Average, except that you will need to input the value of a instead of the number of periods, k. Once you have entered the data range and the damping factor, 1- a. and indicated what output you want and a location, the analysis is the same as the one for the Moving Average model. Applications and Numerical Examples Descriptive Statistics: Suppose you have the following, n 10, data: 1.2, 1.5, 2.6, 3.8, 2.4, 1.9, 3.5, 2.5, 2.4, 3.0 Type your n data points into the cells A1 through An. Click on the Tools menu. (At the bottom of the Tools menu will be a submenu Data Analysis. , if the Analysis Tool Pack has been properly installed.) Clicking on Data Analysis. will lead to a menu from which Descriptive Statistics is to be selected. Select Descriptive Statistics by pointing at it and clicking twice, or by highlighting it and clicking on the Okay button. Within the Descriptive Statistics submenu, a. for the input range enter A1:Dn, assuming you typed the data into cells A1 to An. b. click on the output range button and enter the output range C1:C16. C. click on the Summary Statistics box d. finally, click on Okay. The Central Tendency: The data can be sorted in ascending order: 1.2, 1.5, 1.9, 2.4, 2.4, 2.5, 2.6, 3.0, 3.5, 3.8 The mean, median and mode are computed as follows: (1.2 1.5 2.6 3.8 2.4 1.9 3.5 2.5 2.4 3.0) 10 2.48 The mode is 2.4, since it is the only value that occurs twice. The midrange is (1.2 3.8) 2 2.5. Note that the mean, median and mode of this set of data are very close to each other. This suggests that the data is very symmetrically distributed. Variance: The variance of a set of data is the average of the cumulative measure of the squares of the difference of all the data values from the mean. The sample variance-based estimation for the population variance are computed differently. The sample variance is simply the arithmetic mean of the squares of the difference between each data value in the sample and the mean of the sample. On the other hand, the formula for an estimate for the variance in the population is similar to the formula for the sample variance, except that the denominator in the fraction is (n-1) instead of n. However, you should not worry about this difference if the sample size is large, say over 30. Compute an estimate for the variance of the population . given the following sorted data: 1.2, 1.5, 1.9, 2.4, 2.4, 2.5, 2.6, 3.0, 3.5, 3.8 mean 2.48 as computed earlier. An estimate for the population variance is: s 2 1 (10-1) (1.2 - 2.48) 2 (1.5 - 2.48) 2 (1.9 - 2.48) 2 (2.4 -2.48) 2 (2.4 - 2.48) 2 (2.5 - 2.48) 2 (2.6 - 2.48) 2 (3.0 - 2.48) 2 (3.5 -2.48) 2 (3.8 - 2.48) 2 (1 9) (1.6384 0.9604 0.3364 0.0064 0.0064 0.0004 0.0144 0.2704 1.0404 1.7424) 0.6684 Therefore, the standard deviation is s ( 0.6684 ) 12 0.8176 Probability and Expected Values: Newsweek reported that average take for bank robberies was 3,244 but 85 percent of the robbers were caught. Assuming 60 percent of those caught lose their entire take and 40 percent lose half, graph the probability mass function using EXCEL. Calculate the expected take from a bank robbery. Does it pay to be a bank robber To construct the probability function for bank robberies, first define the random variable x, bank robbery take. If the robber is not caught, x 3,244. If the robber is caught and manages to keep half, x 1,622. If the robber is caught and loses it all, then x 0. The associated probabilities for these x values are 0.15 (1 - 0.85), 0.34 (0.85)(0.4), and 0.51 (0.85)(0.6). After entering the x values in cells A1, A2 and A3 and after entering the associated probabilities in B1, B2, and B3, the following steps lead to the probability mass function: Click on ChartWizard. The ChartWizard Step 1 of 4 screen will appear. Highlight Column at ChartWizard Step 1 of 4 and click Next. At ChartWizard Step 2 of 4 Chart Source Data, enter B1:B3 for Data range, and click column button for Series in. A graph will appear. Click on series toward the top of the screen to get a new page. At the bottom of the Series page, is a rectangle for Category (X) axis labels: Click on this rectangle and then highlight A1:A3. At Step 3 of 4 move on by clicking on Next, and at Step 4 of 4, click on Finish. The expected value of a robbery is 1,038.08. E(X) (0)(0.51)(1622)(0.34) (3244)(0.15) 0 551.48 486.60 1038.08 The expected return on a bank robbery is positive. On average, bank robbers get 1,038.08 per heist. If criminals make their decisions strictly on this expected value, then it pays to rob banks. A decision rule based only on an expected value, however, ignores the risks or variability in the returns. In addition, our expected value calculations do not include the cost of jail time, which could be viewed by criminals as substantial. Discrete Continuous Random Variables: Binomial Distribution Application: A multiple choice test has four unrelated questions. Each question has five possible choices but only one is correct. Thus, a person who guesses randomly has a probability of 0.2 of guessing correctly. Draw a tree diagram showing the different ways in which a test taker could get 0, 1, 2, 3 and 4 correct answers. Sketch the probability mass function for this test. What is the probability a person who guesses will get two or more correct Solution: Letting Y stand for a correct answer and N a wrong answer, where the probability of Y is 0.2 and the probability of N is 0.8 for each of the four questions, the probability tree diagram is shown in the textbook on page 182. This probability tree diagram shows the branches that must be followed to show the calculations captured in the binomial mass function for n 4 and 0.2. For example, the tree diagram shows the six different branch systems that yield two correct and two wrong answers (which corresponds to 4(22) 6. The binomial mass function shows the probability of two correct answers as P(x 2 n 4, p 0.2) 6(.2)2(.8)2 6(0.0256) 0.1536 P(2) Which is obtained from excel by using the BINOMDIST Command, where the first entry is x, the second is n, and the third is mass (0) or cumulative (1) that is, entering BINOMDIST(2,4,0.2,0) IN ANY EXCEL CELL YIELDS 0.1536 AND BINOMDIST(3,4,0.2,0) YIELDS P(x3n4, p 0.2) 0.0256 BINOMDIST(4,4,0.2,0) YIELDS P(x4n4, p 0.2) 0.0016 1-BINOMDIST(1,4,0.2,1) YIELDS P(x 179 2 n 4, p 0.2) 0.1808 Normal Example: If the time required to complete an examination by those with a certain learning disability is believed to be distributed normally, with mean of 65 minutes and a standard deviation of 15 minutes, then when can the exam be terminated so that 99 percent of those with the disability can finish Solution: Because t he average and standard deviation are known, what needs to be established is the amount of time, above the mean time, such that 99 percent of the distribution is lower. This is a distance that is measured in standard deviations as given by the Z value corresponding to the 0.99 probability found in the body of Appendix B, Table 5,as shown in the textbook OR the commands entered into any cell of Excel to find this Z value is NORMINV(0.99,0,1) for 2.326342. The closest cumulative probability that can be found is 0.9901, in the row labeled 2.3 and column headed by .03, Z 2.33, which is only an approximation for the more exact 2.326342 found in Excel. Using this more exact value the calculation with mean m and standard deviation s in the following formula would be Z ( X - m ) s That is, Z ( x - 65)15 Thus, x 65 15(2.32634) 99.9 minutes. Alternatively, instead of standardizing with the Z distribution using Excel we can simply work directly with the normal distribution with a mean of 65 and standard deviation of 15 and enter NORMINV(0.99,65,15). In general to obtain the x value for which alpha percent of a normal random variables values are lower, the following NORMINV command may be used, where the first entry is a. the second is m. and the third is s. Another Example: In the early 1980s, the Toro Company of Minneapolis, Minnesota, advertised that it would refund the purchase price of a snow blower if the following winters snowfall was less than 21 percent of the local average. If the average snowfall is 45.25 inches, with a standard deviation of 12.2 inches, what is the likelihood that Toro will have to make refunds Solution: Within limits, snowfall is a continuous random variable that can be expected to vary symmetrically around its mean, with values closer to the mean occurring most often. Thus, it seems reasonable to assume that snowfall (x) is approximately normally distributed with a mean of 45.25 inches and standard deviation of 12.2 inches. Nine and one half inches is 21 percent of the mean snowfall of 45.25 inches and, with a standard deviation of 12.2 inches, the number of standard deviations between 45.25 inches and 9.5 inches is Z: Z ( x - m ) s (9.50 - 45.25)12.2 -2.93 Using Appendix B, Table 5, the textbook demonstrates the determination of P(x 163 9.50) P(z 163 -2.93) 0.17, the probability of snowfall less than 9.5 inches. Using Excel, this normal probability is obtained with the NORMDIST command, where the first entry is x, the second is mean m. the third is standard deviation s, and the fourth is CUMULATIVE (1). Entering NORMDIST(9.5,45.25,12.2,1), Gives P( x 163 9.50) 0.001693. Sampling Distribution and the Central Limit Theorem : A bakery sells an average of 24 loaves of bread per day. Sales (x) are normally distributed with a standard deviation of 4. If a random sample of size n 1 (day) is selected, what is the probability this x value will exceed 28 If a random sample of size n 4 (days) is selected, what is theprobability that xbar 179 28 Why does the answer in part 1 differ from that in part 2 1. The sampling distribution of the sample mean xbar is normal with a mean of 24 and a standard error of the mean of 4. Thus, using Excel, 0.15866 1-NORMDIST(28,24,4,1). 2. The sampling distribution of the sample mean xbar is normal with a mean of 24 and a standard error of the mean of 2 using Excel, 0.02275 1-NORMDIST(28,24,2,1). Regression Analysis: The highway deaths per 100 million vehicle miles and highway speed limits for 10 countries, are given below: (Death, Speed) (3.0, 55), (3.3, 55), (3.4, 55), (3.5, 70), (4.1, 55), (4.3, 60), (4.7, 55), (4.9, 60), (5.1, 60), and (6.1, 75). From this we can see that five countries with the same speed limit have very different positions on the safety list. For example, Britain. with a speed limit of 70 is demonstrably safer than Japan, at 55. Can we argue that, speed has little to do with safety. Use regression analysis to answer this question. Solution: Enter the ten paired y and x data into cells A2 to A11 and B2 to B11, with the death rate label in A1 and speed limits label in B1, the following steps produce the regression output. Choose Regression from Data Analysis in the Tools menu. The Regression dialog box will will appear. Note: Use the mouse to move between the boxes and buttons. Click on the desired box or button. The large rectangular boxes require a range from the worksheet. A range may be typed in or selected by highlighting the cells with the mouse after clicking on the box. If the dialog box blocks the data, it can be moved on the screen by clicking on the title bar and dragging. For the Input Y Range, enter A1 to A11, and for the Input X Range enter B1 to B11. Because the Y and X ranges include the Death and Speed labels in A1 and B1, select the Labels box with a click. Click the Output Range button and type reference cell, which in this demonstration is A13. To get the predicted values of Y (Death rates) and residuals select the Residuals box with a click. Your screen display should show a Table, clicking OK will give the SUMMARY OUTPUT, ANOVA AND RESIDUAL OUTPUT The first section of the EXCEL printout gives SUMMARY OUTPUT. The Multiple R is the square root of the R Square the computation and interpretation of which we have already discussed. The Standard Error of estimate (which will be discussed in the next chapter) is s 0.86423, which is the square root of Residual SS 5.97511 divided by its degrees of freedom, df 8, as given in the ANOVA section. We will also discuss the adjusted R-square of 0.21325 in the following chapters. Under the ANOVA section are the estimated regression coefficients and related statistics that will be discussed in detail in the next chapter. For now it is sufficient to recognize that the calculated coefficient values for the slope and y intercept are provided (b 0.07556 and a -0.29333). Next to these coefficient estimates is information on the variability in the distribution of the least-squares estimators from which these specific estimates were drawn: the column titled Std. Error contains the standard deviations (standard errors) of the intercept and slope distributions the t-ratio and p columns give the calculated values of the t statistics and associated p-values. As shown in Chapter 13, the t statistic of 1.85458 and p-value of 0.10077, for example, indicates that the sample slope (0.07556) is sufficiently different from zero, at even the 0.10 two-tail Type I error level, to conclude that there is a significant relationship between deaths and speed limits in the population. This conclusion is contrary to assertion that speed has little to do with safety. SUMMARY OUTPUT: Multiple R 0.54833, R Square 0.30067, Adjusted R Square 0.21325, Standard Error 0.86423, Observations 10 ANOVA df SS MS F P-value Regression 1 2.56889 2.56889 3.43945 0.10077 Residual 8 5.97511 0.74689 Total 9 8.54400 Coeffs. Estimate Std. Error T Stat P-value Lower 95 Upper 95 Intercept -0.29333 2.45963 -0.11926 0.90801 -5.96526 5.37860 Speed 0.07556 0.04074 1.85458 0.10077 -0.01839 0.16950 Predicted Residuals 3.86222 -0.86222 3.86222 -0.56222 3.86222 -0.46222 4.99556 -1.49556 3.86222 0.23778 4.24000 0.06000 3.86222 0.83778 4.24000 0.66000 4.24000 0.86000 5.37333 0.72667 Microsoft Excel Add-Ins Forecasting with regression requires the Excel add-in called Analysis ToolPak , and linear programming requires the Excel add-in called Solver . How you check to see if these are activated on your computer, and how to activate them if they are not active, varies with Excel version. Here are instructions for the most common versions. If Excel will not let you activate Data Analysis and Solver, you must use a different computer. Excel 20022003: Start Excel, then click Tools and look for Data Analysis and for Solver. If both are there, press Esc (escape) and continue with the respective assignment. Otherwise click Tools, Add-Ins, and check the boxes for Analysis ToolPak and for Solver, then click OK. Click Tools again, and both tools should be there. Excel 2007: Start Excel 2007 and click the Data tab at the top. Look to see if Data Analysis and Solver show in the Analysis section at the far right. If both are there, continue with the respective assignment. Otherwise, do the following steps exactly as indicated: - click the 8220Office Button8221 at top left - click the Excel Options button near the bottom of the resulting window - click the Add-ins button on the left of the next screen - near the bottom at Manage Excel Add-ins, click Go - check the boxes for Analysis ToolPak and Solver Add-in if they are not already checked, then click OK - click the Data tab as above and verify that the add-ins show. Excel 2010: Start Excel 2010 and click the Data tab at the top. Look to see if Data Analysis and Solver show in the Analysis section at the far right. If both are there, continue with the respective assignment. Otherwise, do the following steps exactly as indicated: - click the File tab at top left - click the Options button near the bottom of the left side - click the Add-ins button near the bottom left of the next screen - near the bottom at Manage Excel Add-ins, click Go - check the boxes for Analysis ToolPak and Solver Add-in if they are not already checked, then click OK - click the Data tab as above and verify that the add-ins show. Solving Linear Programs by Excel Some of these examples can be modified for other types problems Computer-assisted Learning: E-Labs and Computational Tools My teaching style deprecates the plug the numbers into the software and let the magic box work it out approach. Personal computers, spreadsheets, e. g. Excel. professional statistical packages (e. g. such as SPSS), and other information technologies are now ubiquitous in statistical data analysis. Without using these tools, one cannot perform any realistic statistical data analysis on large data sets. The appearance of other computer software, JavaScript Applets. Statistical Demonstrations Applets. and Online Computation are the most important events in the process of teaching and learning concepts in model-based statistical decision making courses. These tools allow you to construct numerical examples to understand the concepts, and to find their significance for yourself. Use any or online interactive tools available on the WWW to perform statistical experiments (with the same purpose, as you used to do experiments in physics labs to learn physics) to understand statistical concepts such as Central Limit Theorem are entertaining and educating. Computer-assisted learning is similar to the experiential model of learning. The adherents of experiential learning are fairly adamant about how we learn. Learning seldom takes place by rote. Learning occurs because we immerse ourselves in a situation in which we are forced to perform and think. You get feedback from the computer output and then adjust your thinking-process if needed. A SPSS-Example . SPSS-Examples . SPSS-More Examples . (Statistical Package for the Social Sciences) is a data management and analysis product. It can perform a variety of data analysis and presentation functions, including statistical analyses and graphical presentation of data. SAS (Statistical Analysis System) is a system of software packages some of its basic functions and uses are: database management inputting, cleaning and manipulating data, statistical analysis, calculating simple statistics such as means, variances, correlations running standard routines such as regressions. Available at: SPSSSAS Packages on Citrix (Installing and Accessing ) Use your email ID and Password: Technical Difficulties OTS Call Center (401) 837-6262 Excel Examples. Excel More Examples It is Excellent for Descriptive Statistics, and getting acceptance is improving, as computational tool for Inferential Statistics. The Value of Performing Experiment: If the learning environment is focused on background information, knowledge of terms and new concepts, the learner is likely to learn that basic information successfully. However, this basic knowledge may not be sufficient to enable the learner to carry out successfully the on-the-job tasks that require more than basic knowledge. Thus, the probability of making real errors in the business environment is high. On the other hand, if the learning environment allows the learner to experience and learn from failures within a variety of situations similar to what they would experience in the real world of their job, the probability of having similar failures in their business environment is low. This is the realm of simulations-a safe place to fail. The appearance of statistical software is one of the most important events in the process of decision making under uncertainty. Statistical software systems are used to construct examples, to understand the existing concepts, and to find new statistical properties. On the other hand, new developments in the process of decision making under uncertainty often motivate developments of new approaches and revision of the existing software systems. Statistical software systems rely on a cooperation of statisticians, and software developers. Beside the professional statistical software Online statistical computation . and the use of a scientific calculator is required for the course. A Scientific Calculator is the one, which has capability to give you, say, the result of square root of 5. Any calculator that goes beyond the 4 operations is fine for this course. These calculators allow you to perform simple calculations you need in this course, for example, enabling you to take square root, to raise e to the power of say, 0.36. e assim por diante. These types of calculators are called general Scientific Calculators. There are also more specific and advanced calculators for mathematical computations in other areas such as Finance, Accounting, and even Statistics. The last one, for example, computes mean, variance, skewness, and kurtosis of a sample by simply entering all data one-by-one and then pressing any of the mean, variance, skewness, and kurtosis keys. Without a computer one cannot perform any realistic statistical data analysis. Students who are signing up for the course are expected to know the basics of Excel. As a starting point, you need visiting the Excel Web site created for this course. If you are challenged by or unfamiliar with Excel, you may seek tutorial help from the Academic Resource Center at 410-837-5385, E-mail. What and How to Hand-in My Computer Assignment For the computer assignment I do recommend in checking your hand computation homework, and checking some of the numerical examples from your textbook. As part of your homework assignment you don not have to hand in the printout of the computer assisted learning, however, you must include within your handing homework a paragraph entitled Computer Implementation describing your (positive or negative) experience. Interesting and Useful Sites The Copyright Statement: The fair use, according to the 1996 Fair Use Guidelines for Educational Multimedia. of materials presented on this Web site is permitted for non-commercial and classroom purposes only. This site may be mirrored intact (including these notices), on any server with public access. All files are available at home. ubalt. eduntsbarshBusiness-stat for mirroring. Kindly e-mail me your comments, suggestions, and concerns. Obrigado. EOF: CopyRights 1994-2015.Glossary of Terms Statistics - a set of concepts, rules, and procedures that help us to: organize numerical information in the form of tables, graphs, and charts understand statistical techniques underlying decisions that affect our lives and well-being and make informed decisions. Data - facts, observations, and information that come from investigations. Measurement data sometimes called quantitative data -- the result of using some instrument to measure something (e. g. test score, weight) Categorical data also referred to as frequency or qualitative data. Things are grouped according to some common property(ies) and the number of members of the group are recorded (e. g. malesfemales, vehicle type). Variable - property of an object or event that can take on different values. For example, college major is a variable that takes on values like mathematics, computer science, English, psychology, etc. Discrete Variable - a variable with a limited number of values (e. g. gender (malefemale), college class (freshmansophomorejuniorsenior). Continuous Variable - a variable that can take on many different values, in theory, any value between the lowest and highest points on the measurement scale. Independent Variable - a variable that is manipulated, measured, or selected by the researcher as an antecedent condition to an observed behavior. In a hypothesized cause-and-effect relationship, the independent variable is the cause and the dependent variable is the outcome or effect. Dependent Variable - a variable that is not under the experimenters control -- the data. It is the variable that is observed and measured in response to the independent variable. Qualitative Variable - a variable based on categorical data. Quantitative Variable - a variable based on quantitati ve data. Graphs - visual display of data used to present frequency distributions so that the shape of the distribution can easily be seen. Bar graph - a form of graph that uses bars separated by an arbitrary amount of space to represent how often elements within a category occur. The higher the bar, the higher the frequency of occurrence. The underlying measurement scale is discrete (nominal or ordinal-scale data), not continuous. Histogram - a form of a bar graph used with interval or ratio-scaled data. Unlike the bar graph, bars in a histogram touch with the width of the bars defined by the upper and lower limits of the interval. The measurement scale is continuous, so the lower limit of any one interval is also the upper limit of the previous interval. Boxplot - a graphical representation of dispersions and extreme scores. Represented in this graphic are minimum, maximum, and quartile scores in the form of a box with whiskers. The box includes the range of scores falling into the middle 50 of the distribution ( I nter Q uartile R ange 75 th percentile - 25 th percentile)and the whiskers are lines extended to the minimum and maximum scores in the distribution or to mathematically defined (-1.5IQR) upper and lower fences. Scatterplot - a form of graph that presents information from a bivariate distribution. In a scatterplot, each subject in an experimental study is represented by a single point in two-dimensional space. The underlying scale of measurement for both variables is continuous (measurement data). This is one of the most useful techniques for gaining insight into the relationship between tw variables. Measures of Center - Plotting data in a frequency distribution shows the general shape of the distribution and gives a general sense of how the numbers are bunched. Several statistics can be used to represent the center of the distribution. These statistics are commonly referred to as measures of central tendency . Mode - The mode of a distribution is simply defined as the most frequent or common score in the distribution. The mode is the point or value of X that corresponds to the highest point on the distribution. If the highest frequency is shared by more than one value, the distribution is said to be multimodal . It is not uncommon to see distributions that are bimodal reflecting peaks in scoring at two different points in the distribution. Median - The median is the score that divides the distribution into halves half of the scores are above the median and half are below it when the data are arranged in numerical order. The median is also referred to as the score at the 50 th percentile in the distribution. The median location of N numbers can be found by the formula ( N 1) 2. When N is an odd number, the formula yields a integer that represents the value in a numerically ordered distribution corresponding to the median location. (For example, in the distribution of numbers (3 1 5 4 9 9 8) the median location is (7 1) 2 4. When applied to the ordered distribution (1 3 4 5 8 9 9), the value 5 is the median, three scores are above 5 and three are below 5. If there were only 6 values (1 3 4 5 8 9), the median location is (6 1) 2 3.5. In this case the median is half-way between the 3 rd and 4 th scores (4 and 5) or 4.5. Mean - The mean is the most common measure of central tendency and the one that can be mathematically manipulated. It is defined as the average of a distribution is equal to the S X N . Simply, the mean is computed by summing all the scores in the distribution ( S X ) and dividing that sum by the total number of scores ( N ). The mean is the balance point in a distribution such that if you subtract each value in the distribution from the mean and sum all of these deviation scores . the result will be zero. Measures of Spread - Although the average value in a distribution is informative about how scores are centered in the distribution, the mean, median, and mode lack context for interpreting those statistics. Measures of variability provide information about the degree to which individual scores are clustered about or deviate from the average value in a distribution. Range - The simplest measure of variability to compute and understand is the range. The range is the difference between the highest and lowest score in a distribution. Although it is easy to compute, it is not often used as the sole measure of variability due to its instability. Because it is based solely on the most extreme scores in the distribution and does not fully reflect the pattern of variation within a distribution, the range is a very limited measure of variability. Interquartile Range (IQR) - Provides a measure of the spread of the middle 50 of the scores. The IQR is defined as the 75 th percentile - the 25 th percentile. The interquartile range plays an important role in the graphical method known as the boxplot . The advantage of using the IQR is that it is easy to compute and extreme scores in the distribution have much less impact but its strength is also a weakness in that it suffers as a measure of variability because it discards too much data. Researchers want to study variability while eliminating scores that are likely to be accidents. The boxplot allows for this for this distinction and is an important tool for exploring data. Variance - The variance is a measure based on the deviations of individual scores from the mean. As noted in the definition of the mean, however, simply summing the deviations will result in a value of 0. To get around this problem the variance is based on squared deviations of scores about the mean. When the deviations are squared, the rank order and relative distance of scores in the distribution is preserved while negative values are eliminated. Then to control for the number of subjects in the distribution, the sum of the squared deviations, S ( X - X ), is divided by N (population) or by N - 1 (sample). The result is the average of the sum of the squared deviations and it is called the variance. Standard deviation - The standard deviation ( s or s ) is defined as the positive square root of the variance. The variance is a measure in squared units and has little meaning with respect to the data. Thus, the standard deviation is a measure of variability expressed in the same units as the data. The standard deviation is very much like a mean or an average of these deviations. In a normal (symmetric and mound-shaped) distribution, about two-thirds of the scores fall between 1 and -1 standard deviations from the mean and the standard deviation is approximately 14 of the range in small samples ( N 100). Measures of Shape - For distributions summarizing data from continuous measurement scales, statistics can be used to describe how the distribution rises and drops. Symmetric - Distributions that have the same shape on both sides of the center are called symmetric. A symmetric distribution with only one peak is referred to as a normal distribution . Skewness - Refers to the degree of asymmetry in a distribution. Asymmetry often reflects extreme scores in a distribution. Positively skewed - A distribution is positively skewed when is has a tail extending out to the right (larger numbers) When a distribution is positively skewed, the mean is greater than the median reflecting the fact that the mean is sensitive to each score in the distribution and is subject to large shifts when the sample is small and contains extreme scores. Negatively skewed - A negatively skwed distribution has an extended tail pointing to the left (smaller numbers) and reflects bunching of numbers in the upper part of the distribution with fewer scores at the lower end of the measurement scale. Kurtosis - Like skewness, kurtosis has a specific mathematical definition, but generally it refers to how scores are concentrated in the center of the distribution, the upper and lower tails (ends), and the shoulders (between the center and tails) of a distribution. Mesokurtic - A normal distribution is called mesokurtic. The tails of a mesokurtic distribution are neither too thin or too thick, and there are neither too many or too few scores in the center of the distribution. Platykurtic - Starting with a mesokurtic distribution and moving scores from both the center and tails into the shoulders, the distribution flattens out and is referred to as platykurtic. Leptokurtic - If you move scores from shoulders of a mesokurtic distribution into the center and tails of a distribution, the result is a peaked distribution with thick tails. This shape is referred to as leptokurtic. I-MR Charts Individuals - Moving Range Charts I-MR charts plot individual observations on one chart accompanied with another chart of the range of the individual observations - normally from each consecutive data point. This chart is used to plot CONTINUOUS data. The Individuals (I) Chart plots each measurement (sometimes called an observation) as a separate data point. Each data point stands on its own and the means there is no rational subgrouping and the subgroup size 1. A couple other common charts used with subgroups gt1 are: A typical Moving Range (MR) Chart uses a default value of 2, which means each data point plots the difference (range) between two consecutive data points as they come from the process in sequential order. Therefore there will be one less data point in the MR chart than the Individuals chart. However, this value can be adjusted in most statistical software programs. I-MR charts should be in control according the control tests that you elect to use. There are many types of tests that can determine control and points within the control limits can also be out of control or special cause. Example One The data below of measurements were taken from the overall length of 30 different widgets. The calculation applies the short-term estimate with un-biasing constant since it is most likely a sampling representing the short term performance of the process. Keep in mind there are several estimates for sigma (standard deviation) and each use should be agreed upon with the customer and the reasoning for its selection. The first data point in the RANGE chart since a moving range of 2 was selected the absolute value (or the positive difference) of 5.77 - 4.57 1.20. One measurement per part, with no rational subgroups. Parts are measured in order from which they came from the process. xa0 There is one less range data point than parts measured. xa0 Using MR-bard2 for estimate of sigma (short term estimate for standard deviation). Both charts indicate a process that is stable and in control. This would suffice for the stability portion of an MSA. If this were the new (AFTER) data from a process improvement and this performance is better and more desirable than the BEFORE performance, then these control limits could be set as the new process control limits. If this were the previous (BEFORE) data of a process, and all the variation is explained by common cause inherent variation then it will take a fundamental change (hopefully an improvement) to change and sustain this performance. The objective of the team is to eliminate or explain all special cause variation and make fundamental, unprecedented improvements to drive the existing level of common cause performance to a reduced variation and more precise performance around a target. Example Two BEFORE AFTER I-MR Chart Below is an example of data compiled at the end of the IMPROVE phase from a time study before and after the improvements were implemented on an inspection process. The times were charted with each time representing its own group (subgroup size 1). Time is an continuous data type that would you an SPC chart such as an I-MR. You can see from the chart the average for the individual measurement times went down to 9.79 minutes and . by examining the lower chart, you can see the variation among the times also was reduced. To statistically analyze whether the mean has changed you could use the 2 sample-t test or paired-t test (depending on the data and assuming the data is normally distributed). Hypothesis Test Using the data in the above chart, a 2 sample t-test was done with alpha risk set at 0.05 to determine if there is a significant difference in the performance of the mean BEFORE and AFTER. NOTE: Although 52 samples were taken in both BEFORE and AFTER, the pairs are not matched due to different parts being assessed and being a destructive study. Had the assessment been done using the same parts and non-destructive parts then the paired t test could be used. xa0 Null hypothesis Ho: Mean BEFORE Mean AFTER Alternative hypothesis H A. xa0Mean AFTER lt Mean BEFORE This creates a one-tailed test. The null hypothesis is rejected. There are a couple ways to conclude this. The test statistic of 26.42 is greater than critical t-value at 0.05, and dF 76 which is 1.67 for one tailed test. dF Degrees of Freedom the p-value being less than 0.05. With the statistical evidence that a shift has occurred in the mean from 19.65 minutes to 9.79 minutes. The AFTER performance also passed all SPC tests so the new control limits should be used going forward to monitor this process. This is an important part of the CONTROL phase and the Revised FMEA. xa0 The Revised FMEA should document the new control limits for the process and this is done to quickly identify if the future process performance remains in control and is sustained. xa0 Using the old upper and lower control limits to monitor a proven improved process is not likely expose any performance behavior that retracts or begins to fall back to old patterns. And, the goal is not to allow this, expose problems quickly and visibly so they can be addressed and get the process dialed in again. xa0 Test for Variation reduction To statistically check if the variation has changed from before you could use the F-Test for Equal Variances. Since this example is applying a 95 level of confidence, then any p-value lt 0.05 would be statistically significant and you would reject the null hypothesis and conclude there is a difference. VISUAL AID . Another visual guideline is to examine the confidence intervals shown in blue for the BEFORE (1) and AFTER (2) data. IF the interval band lines DO overlap then there is no statistical difference between the variation before and after. IF the interval band lines DO NOT overlap, there is a statistical significant difference between the variation before and after. The further the lines are away from overlapping the lower the p-value will be and more confidence you have in concluding there is a significant difference (seems obvious). If the edge of the lines were close to one another (such as the left edge of the top line and the right edge of the lower line in our example), then the p-value would be close to zero and the F-statistic would be about the same as the F-critical value. RECALL: The goal of most Six Sigma projects is to improve the mean to a target (add accuracy) and reduce variation (add precision). Levenes test can be used on non-normal sets of data to test for Equal Variances. With the new (AFTER) process in control, you can proceed to assess the final process capability and come up with the new z-score or use a capability index. One-Way ANOVA There is also an interest to determine if there is a significant difference between the four appraisers in the AFTER study. This could help identify one or more appraisers that could benefit from more training and examine where the new variation is coming from (within each operator, among, or both) Using a One-Way ANOVA with alpha at 0.05, the following results of the AFTER data were generated. xa0 Reminder there were 52 readings so dF 51. It is concluded there was not a statistical difference between the operators. There are several things that support the conclusions. The p-value well above 0.05 (in other words, do not reject the null hypothesis) F-statistic lt F-critical value of 2.81 Heavily overlapping confidence intervals. Jim and Dave had almost the exact same results. The difference between Paul and Dave is the greatest but still not statistically significant at an alpha-risk of 0.05. are all evidence that there is no difference among any pairs or combinations of them. The low F-value of 0.27 says the variation within the appraisers is greater than the variation among them and not within the rejection region.
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